Question

已知橢圓，直線．P是l上點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：先設三個點P、R、Q的坐標分別為（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），利用共線條件得出它們坐標的關系，再依據條件|OQ|•|OP|=|OR|²，將三點的坐標代入，最終得到關于x，y的方程即為所求．
解答：解：由題設知點Q不在原點．設P、R、Q的坐標分別為（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），其中x，y不同時為零．
當點P不在y軸上時，由于點R在橢圓上及點O、Q、R共線，
得方程組
解得
由于點P在直線l上及點O、Q、P共線，得方程組．
解得
當點P在y軸上時，經驗證①～④式也成立．
由題設|OQ|•|OP|=|OR|²，得
將①～④代入上式，化簡整理得
因x與x_p同號或y與yp同號，以及③、④知2x+3y＞0，
故點Q的軌跡方程為（其中x，y不同時為零）．
所以點Q的軌跡是以（1，1）為中心，長、短半軸分別為和且長軸與x軸平行的橢圓、去掉坐標原點．
點評：本小題主要考查直線、橢圓的方程和性質，曲線與方程的關系，軌跡的概念和求法，利用方程判定曲線的性質等解析幾何的基本思想和綜合運用知識的能力．