Question

已知函數f(x)=-x+8x,g(x)=6lnx+m

（Ⅰ）求f(x)在區間[t,t+1]上的最大值h(t);

（Ⅱ）是否存在實數m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（I）f(x)=－x²+8x=－(x－4)²+16,

      當t+1<4，即t<3時，f(x)在[t，t+1]上單調遞增，

h(t)=f(t+1)=－(t+1)²+8(t+1)=－t²+6t+7;

當t≤4≤t+1時,即3≤t≤4時，h(t)=f(4)=16;

當t>4時，f(x)在[t，t+1]上單調遞減，

h(t)=f(x)=－t²+8t .

綜上，h(t)=     

（II）函數y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數

j(x)=g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點。

∴j(x)=x²－8x+16ln x+m,

∵j?(x)=2x－8+            

當x∈(0,1)時，j?(x)>0，j(x)是增函數；

當x∈(1,3)時，j?(x)<0，j(x)是減函數；

當x∈(3,+∞)時，j?(x)>0，j(x)是增函數；

當x=1，或x=3時， j?(x)=0；

∴j(x)_極大值=j(1)=m－7, j(x)_極小值=j(3)=m+6ln 3－15.

∵當x充分接近0時，j(x)<0，當x充分大時，j(x)>0.

∴要使j(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須

    既7<m<－6ln 3.

所以存在實數m，使得函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為（7，15-6ln 3）.