Question

（本題滿分15分）已知橢圓上的動點到焦點距離的最小值為。以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓上一點， 且滿足
（為坐標原點）。當 時，求實數的值．

Answer 1

（Ⅰ）故橢圓的方程為．（Ⅱ）  。

本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運用．
（1）由題設條件可知 a-c的值，然后利用以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，得到橢圓C的標準方程．
（2）設出直線方程與橢圓聯立方程組，結合韋達定理和向量的關系式，得到參數k與t的關系式，進而得到結論。
解：（Ⅰ）由題意知；       ………………2分
又因為，所以，．         ………………4分
故橢圓的方程為．             ………………5分
（Ⅱ）設直線的方程為，，，，
由得．          ……………………7分
，．                ……………………9分
，．又由，得，
                                  ……………………11分
可得．                                           ……………………12分
又由，得，則，．              ……………………13分
故，即．  ……………………14分
得，，即                               ……………………15分