Question

如圖所示，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，2），且與x軸交點的橫坐標分別為x₁，x₂．其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，
下列結論：
①4a-2b+c＜0；  
②2a-b＜0； 
③a＜-1； 
④b²+8a＞4ac．
其中正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：首先根據拋物線的開口方向可得到a＜0，拋物線交y軸于正半軸，則c＞0，而拋物線與x軸的交點中，-2＜x₁＜-1、0＜x₂＜1說明拋物線的對稱軸在-1～0之間，即x=-＞-1，可根據這些條件以及函數圖象上一些特殊點的坐標來進行判斷．
解答：解：由圖知：拋物線的開口向下，則a＜0；拋物線的對稱軸x=-＞-1，且c＞0；
①由圖可得：當x=-2時，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正確；
②已知x=-＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正確；
③已知拋物線經過（-1，2），即a-b+c=2（1），由圖知：當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；聯立（1）（2），得：a+c＜1；聯立（1）（3）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以③正確；
④由于拋物線的對稱軸大于-1，所以拋物線的頂點縱坐標應該大于2，即：
＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正確；
因此正確的結論是①②③④．
故答案為：D．
點評：本題主要考查對二次函數圖象與系數的關系，拋物線與X軸的交點，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，能根據圖象確定與系數有關的式子的正負是解此題的關鍵．