Question

附加題 
已知函數f(x)=log2

2+x

2-x

（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）討論f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求對數函數的定義域，根據真數大于等于0建立關系式，然后解分式不等式即可．
（II）利用奇偶性的定義，看f（-x）和f（x）的關系，注意到

2+x

2-x

和

2-x

2+x

互為倒數，其對數值互為相反數，也可計算f（-x）+f（x）=0得到．
（III）解對數不等式，注意定義域是前提．

解答：解：（I）由對數函數的定義知

2+x

2-x

＞0．
如果

2+x＞0 2-x＞0

，則-2＜x＜2；
如果

2+x＜0 2-x＜0

，則不等式組無解．
故f（x）的定義域為（-2，2）
（II）∵f(-x)=log2

2-x

2+x

=-log2

2+x

2-x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數．
（III）log₂

2+x

2-x

＞0等價于

2+x

2-x

＞1，①
而從（I）知2-x＞0，故①等價于2+x＞2-x，又等價于x＞0．
∴當x∈（0，2）時有f（x）＞0

點評：本題主要考查了對數函數的性質：定義域、奇偶性、單調性等有關知識，同時考查了轉化的思想，屬于基礎題．