Question

附加題
已知函數f（x）=ln （ax+1）+，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=ln （ax+1）+ =ln（ax+1）+ ﹣1，
求導函數可得f′（x）= ，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，∴ =0 ∴a=1；
（2）設f′（x）= ＞0，有ax²＞2﹣a，
若a≥2，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上遞增，
∴f（x）的最小值為f（0）=1；
若0＜a＜2，則x＞ ，f'（x）＞0恒成立，
f（x）在（ ，+∞）上遞增，在（﹣∞， ）上遞減，
∴f（x）在x= 處取得最小值f（ ）＜f（0）=1．
綜上知，若f（x）最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．