Question

（2013•寧波二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設函數f(x)=cosx•cos(x-A)-

1

2

cosA（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=

π

3

處取得最大值，求

a(cosB+cosC)

(b+c)sinA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式、余弦公式化簡函數f（x）的解析式為

1

2

cos(2x-A)，由此可求它的最大值．
（Ⅱ）由（ I）知：由

2π

3

-A=2kπ，k∈Z，求得A的值，再利用正弦定理及兩角和差的正弦公式、余弦公式，化簡要求的式子，求得結果．

解答：解：（Ⅰ）依題意得f(x)=cos2xcosA+cosxsinxsinA-

1

2

cosA…（2分）
=

1

2

(cos2x•cosA+sin2x•sinA)=

1

2

cos(2x-A)，…（5分）
所以T=π，(f(x))max=

1

2

．…（7分）
（Ⅱ）由（ I）知：由

2π

3

-A=2kπ，k∈Z，得A=

2π

3

-2kπ∈(0，π)，
所以A=

2π

3

．
故

a(cosB+cosC)

(b+c)sinA

=

cosB+cosC

sinB+sinC

=

cos( π 3 -C)+cosC

sin( π 3 -C)+sinC

=

3 2 cosC+ 3 2 sinC

3 2 cosC+ 1 2 sinC

=

3

．…（14分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式，正弦定理以及二倍角公式的應用，屬于中檔題．