Question

如圖，設平面AC與平面BD相交于BC，它們所成的一個二面角為45°，P∈平面AC，Q∈平面BD，已知直線MQ是直線PQ在平面BD內的射影，且M在BC上，又直線PQ與平面BD所成的角為β，∠CMQ＝，(0°＜＜90°)，設線段PM＝a，求PQ的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：設PMR＝α，作PR⊥MQ于R，顯然PR⊥平面BD． 　　作RN⊥BC于N，連PN，則PN⊥BC．∴∠PNR＝45°，∠PQM＝β． 　　在直角ΔPMR中：PR＝asinα，MR＝acosα． 　　在直角ΔMNR中：NR＝MRsin＝acosαsin． 　　∵PR＝NR，∴asinα＝acosαsin． 　　∴tanα＝sin，cosα＝，sinα＝． 　　在ΔPMQ中由正弦定理： 　　＝， 　　∴PQ＝＝． 　　評析：本題是利用正弦定理通過解斜三角形求出PQ的長，當然也可以通過三個直角三角形中的關系轉換，先出求PR，最后在直角ΔPQR中利用銳角函數處理，相比之下，還是給出的解法略為簡便些．

提示：

在ΔPMQ中因為PM＝a，∠PQM＝β，欲求PQ的長，根據正弦定理只要能求出sin∠PMR就行了．