Question

已知函數在點M（-1，y）的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求點M的坐標；
（Ⅱ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅲ）設g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程x+y+3=0可得M的坐標；
（Ⅱ）利用切點在函數圖象上，該點的切線的斜率為-1，建立方程，即可求得函數的解析式；
（Ⅲ）利用分析法證明，要證在[1，+∞）上恒成立，轉化為證明x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，構造函數，利用導數確定函數的單調性，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：將x=-1代入切線方程x+y+3=0得y=-2，∴M（-1，-2）…（2分）
（Ⅱ）解：，化簡得b-a=-4①．…（4分）
求導函數，則②．…（6分）
由①②解得：a=2，b=-2
∴．  …（8分）
（Ⅲ）證明：要證在[1，+∞）上恒成立
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．…（10分）
設h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
∵x≥1，∴，即h'（x）≥0．…（12分）
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．…（14分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，屬于中檔題．