Question

在△ABC中，O是中線AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若|AM|=4，則

OA

•(

OB

+

OC

)的最小值是（　　）

A．-4

B．-8

C．-10

D．-12

Answer 1

分析：如圖所示，延長(zhǎng)OM到點(diǎn)E，使得ME=OM．又點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，則四邊形OBEC是平行四邊形．利用向量的平行四邊形法則、共線定理、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：如圖所示，延長(zhǎng)OM到點(diǎn)E，使得ME=OM．
又點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，則四邊形OBEC是平行四邊形．
∴

OB

+

OC

=

OE

=2

OM

．
∴

OA

•(

OB

+

OC

)=

OA

•2

OM

=2

OA

•(

AM

-

AO

)
=2

OA

•

AM

-2

OA

•

AO

=2|

OA

|2-8|

OA

|
=2(|

OA

|-2)2-8，
當(dāng)且僅當(dāng)|

OA

|=2，即點(diǎn)O為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，

OA

•(

OB

+

OC

)取得最小值-8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的平行四邊形法則、共線定理、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．