Question

祖國大陸允許臺灣農民到大陸創業以來，在11個省區設立了海峽兩岸農業合作試驗區和臺灣農民創業園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務，某臺商在第一年初到大陸創辦一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第七年開始，每年初M的價值為年初的75%．
（1）求第n年初M的價值a_n的表達式；
（2）設A_n=，若A_n大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新，證明：必須在第九年初對M更新．

Answer 1

解：（1）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為﹣10的等差數列，
故a_n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n，
當n≥7時，數列{a_n}從a₆開始的項構成一個以a₆=130﹣60=70為首項，以為公比的等比數列，故，
∴第n年初M的價值a_n=．
（2）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，
由等差數列和等比數列的求和公式，得：
當1≤n≤6時，S_n=120n﹣5n（n﹣1），=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n，
當n≥7時，由于S₆=570，
故S_n=570+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×
=780﹣210×，=，
∵{a_n}是遞減數列，∴{A_n}是遞減數列，
∵≈82.734＞80，≈76.823＜80，
所以必須在第九年初對M更新．