Question

祖國大陸允許臺灣農民到大陸創業以來，在11個省區設立了海峽兩岸農業合作試驗區和臺灣農民創業園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務，某臺商在第一年初到大陸創辦一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第七年開始，每年初M的價值為年初的75%．
（1）求第n年初M的價值a_n的表達式；
（2）設A_n=

a1+a2+…+an

n

，若A_n大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新，證明：必須在第九年初對M更新．

Answer 1

分析：（1）根據題意，當n≤6時，數列{a_n}是一個等差數列，當n≥7時，數列{a_n}中從a₆開始的項構成一個等比數列，分別確定它們的首項和公差，公差，寫出通項公式，然后進行合并即可．
（2）先對n進行公類，表示出A_n，利用數列的單調性質確定其最佳項，并與80比較大小，確定n的值．

解答：解：（1）當n≤6時，數列{a_n}是首項為120，公差為-10的等差數列，
故a_n=120-10（n-1）=130-10n，
當n≥7時，數列{a_n}從a₆開始的項構成一個以a₆=130-60=70為首項，以

3

4

為公比的等比數列，
故an=70×(

3

4

)n-6，
∴第n年初M的價值a_n=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（2）設S_n表示數列{a_n}的前n項和，由等差數列和等比數列的求和公式，得：
當1≤n≤6時，S_n=120n-5n（n-1），
An=

Sn

n

=120-5（n-1）=125-5n，
當n≥7時，由于S₆=570，
故S_n=570+（a₇+a₈+…+a_n）
=570+70×

3

4

×4×[1-(

3

4

)n-6]
=780-210×(

3

4

)n-6，
An=

Sn

n

=

780-210×( 3 4 )n-6

n

，
∵{a_n}是遞減數列，∴{A_n}是遞減數列，
∵A8=

780-210×( 3 4 )2

8

≈82.734＞80，
A9=

780-210×( 3 4 )3

9

≈76.823＜80，
所以必須在第九年初對M更新．

點評：本題考查函數模型的建立問題，關鍵要理解題意，通過相應的數學知識建立數學模型，通過不等式工具、函數最值的思想和方法達到求解的目的．考查轉化與化歸的思想．