Question

6．定義：記min{x₁，x₂，…，x_n}為x₁，x₂，…，x_n這n個實數中的最小值，記max{x₁，x₂，…，x_n}為x₁，x₂，…，x_n這n個實數中的最大值，例如：min{3，-2，0}=-2．
（1）求證：min{x²+y²，xy}=xy；
（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；
（3）若H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}（x，y∈R⁺），求H的最小值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用新定義，即可證明結論；
（2）寫出分段函數，即可求f（x）的最小值；
（3）分類討論，求出H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}（x，y∈R⁺），即可求H的最小值．

解答 （1）證明：當xy≤0時，x²+y²≥xy，則min{x²+y²，xy}=xy，
當xy＞0時，由x²+y²≥2|xy|＞xy，則min{x²+y²，xy}=xy，
綜上所述min{x²+y²，xy}=xy；
（2）解：f（x）=max{|x|，2x+3}=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x＜-1}\\{2x+3，x≥-1}\end{array}\right.$，
∴當x=-1時，f（x）的有最小值，即為1；
（3）解：x=y=$\frac{1}{4}$時，H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={2}，H的最小值為2．
不失一般性，設x＞y＞0，當x＞y＞$\frac{1}{4}$時，
∵x，y∈R⁺，
∴$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}$=2，當且僅當x=y時取等號，
∵2＞$\frac{1}{\sqrt{y}}$＞$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={2}，H的最小值為2．
當x＞$\frac{1}{4}$＞y時，H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$}，H的最小值不存在．
當$\frac{1}{4}$＞x＞y時，H=max{$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，$\frac{x+y}{{\sqrt{xy}}}$，$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}={$\frac{1}{{\sqrt{y}}}}$}，H的最小值不存在．
綜上所述，x=y=$\frac{1}{4}$時，H的最小值為2．

點評 本題考查新定義，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．