Question

在三角形ABC中，已知AB=4，AC=1，△ABC的面積為

3

，則BC的長為

13

或

21

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把c，b及已知的面積代入求出sinA的值，由A為三角形的內角，得到A的值，進而確定出cosA的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的長，即為BC的長．

解答：解：∵AB=c=4，AC=b=1，△ABC的面積為

3

，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

，即2sinA=

3

，
∴sinA=

3

2

，又A為三角形的內角，
∴A=

π

3

或

2π

3

，
當A=

π

3

，即cosA=

1

2

時，由余弦定理得：BC²=a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
∴BC=

13

；
當A=

2π

3

，即cosA=-

1

2

時，由余弦定理得：BC²=a²=b²+c²-2bccosA=1+16+4=21，
∴BC=

21

，
綜上，BC的長為

13

或

21

．
故答案為：

13

或

21

點評：此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵，同時注意所求BC的長有兩解，不要漏解．