Question

設矩陣M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標伸長到原來的2倍的伸壓變換矩陣．
（1）求逆矩陣M^-1；
（2）求橢圓

x2

9

+

y2

4

=1在矩陣M^-1作用下變換得到的新曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，求出矩陣M，由M•M^-1=E，求出M^-1．
（2）設橢圓上任意一點（x₀，y₀），變換后的坐標（x₀′，y₀′），根據逆變換公式，知道之間的關系，代入，即可求出新曲線方程．

解答：解：（1）M-1=

1 3 0 0 1 2

．（5分）
（2）任意選取橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的一點P（x₀，y₀），它在矩陣M-1=

1 3 0 0 1 2

對應的變換下變為P'（x₀′，y₀′），則有

1 3 0 0 1 2

x0 y0

=

x ′ 0 y ′ 0

，故

x0=3 x ′ 0 y0=2 y ′ 0

．
又因為點P在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上，所以

x 2 0

9

+

y 2 0

4

=1，即有

9 x ′ 0 2

9

+

4 y ′ 0 2

4

=1，
因此x₀^'2+y₀^'2=1．
從而橢圓

x2

9

+

y2

4

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．（10分）

點評：本題主要考查逆矩陣、逆變換及其計算能力，難度比較大，做題要仔細．