Question

（2013•閘北區二模）某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”．現測得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°．
（1）求腰梁BF與DE所成角的大小；
（2）若不計糧倉表面的厚度，該糧倉可儲存多少立方米糧食？

Answer 1

分析：（1）根據異面直線所成角的概念，過E作EK∥FB，連接DK，則DEK為異面直線DE與FB所成的角，然后通過求解三角形即可得到兩異面直線所成角；
（2）要求原多面體的體積，可以把原多面體分割成我們熟悉的柱體及椎體求體積分別過E，F作兩底梁的垂線，連接兩垂足后分割完成，然后直接利用柱體及錐體的體積求解．

解答：解：（1）如下圖，過點E作EK∥FB交AB于點K，
則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，

∵DE=FB=4，EA，EK與AB所成角都是60°，∴AK=4，∴DK=4

2

，
在三角形DEK中，∵DE²+EK²=4²+4²=32=DK²，∴∠DEK=90°，
∴腰梁BF與DE所成的角為90°；  
（2）如上圖，過點E分別作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，連接MN，則AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，過點E作EO⊥MN于點O，則EO⊥平面ABCD
由題意知，AE=DE=AD=4，
AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=2

3

，
∴O為MN中點，∴EO=2

2

，即四棱錐E-AMND的高為2

2

，
同理，再過點F作FP⊥AB于點P，FQ⊥CD于點Q，連接PQ，
原多面體被分割為兩個全等的四棱錐和一個直棱柱，且MP=16-2-2=12．
∴多面體的體積V=2V_E-AMND+V_PQF-MNE
=2×

1

3

×2×4×2

2

+

1

2

×4×2

2

×12=

176 2

3

．
答：該糧倉可儲存

176 2

3

立方米的糧食．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力，考查了利用割補法求幾何體的體積，屬中檔題．