Question

如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為BD中點(diǎn)，連接AG分別交⊙O、BD于點(diǎn)E、F連接CE．
（1）求證：AG•EF=CE•GD；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AG•EF=CE•GD我們可以分析積等式中四條線段的位置，然后判斷它們所在的三角形是否相似，然后將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)證明三角形相似的問(wèn)題．
（2）由（1）的推理過(guò)程，我們易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG²=AG•GF，結(jié)合（1）的結(jié)論，不難得到要證明的結(jié)論．
解答：證明：（1）連接AB，AC，
∵AD為⊙M的直徑，∴∠ABD=90°，
∴AC為⊙O的直徑，∴∠CEF=∠AGD，
∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，
∵G為弧BD中點(diǎn)，∴∠DAG=∠GDF，
∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，
∴△CEF∽△AGD，
∴，
∴AG•EF=CE•GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，
∠G=∠G，
∴△DFG∽△AGD，
∴DG²=AG•GF，
由（1）知，
∴．
點(diǎn)評(píng)：證明三角形相似有三個(gè)判定定理：（1）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似（2）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似（3）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等），則有兩個(gè)三角形相似．我們要根據(jù)已知條件進(jìn)行合理的選擇，以簡(jiǎn)化證明過(guò)程．