Question

定義如下運算：

x11 x12 x13 … x1n x21 x22 x23 … x2n x31 x32 x33 … x3n … xm1 xm2 xm3 … xmn

×

y11 y12 y13 … y1k y21 y22 y23 … y2k y31 y32 y33 … y3k … yn1 yn2 yn3 … ynk

=

z11 z12 z13 … z1k z21 z22 z23 … z2k z31 z32 z33 … z3k … zmk zmk zmk … zmk

其中z_ij=x_i1y_1j+x_i2y_2j+x_i3y_3j+…+x_iny_nj．（1≤i≤m，1≤j≤n，i．j∈N^*）．
現有n²個正數的數表A排成行列如下：（這里用a_ij表示位于第i行第j列的一個正數，i，j∈N^*）

a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n … an1 an2 an3 … ann

，其中每橫行的數成等差數列，每豎列的數成等比數列，且各個等比數列的公比相同，若a24=1，a42=

1

8

，a43=

3

16

，
（1）求a_ij的表達式（用i，j表示）；
（2）若

a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n … an1 an2 an3 … ann

×

1 3 2 32 3 33 ? ? n 3n

=

b11 b12 b21 b22 b31 b32 ? ? bn1 bn2

，求b_i1．b_i2（1≤i≤n，用i，n表示）

Answer 1

（1）∵a42=

1

8

，a43=

3

16

，且每橫行成等差數列，
∴a4j=a42+(j-2)(

3

16

-

1

8

)=

1

16

j，
∴a44=

4

16

=

1

4

，
又∵a24=1，a44=

1

4

，
∴q=

1

2

（∵q＞0）
∴aij=a4j(

1

2

)i-4=

j

2i

；
（2）bi1=

1

2i

×1+

2

2i

×2+

3

2i

×3+…+

n

2i

×n
=

1

2i

(12+22+32+…+n2)=

n(2n+1)(n+1)

3×2i+1

bi2=

1

2i

×3+

2

2i

×32+

3

2i

×33+…+

n

2i

×3n①
∴3bi2=

1

2i

×32+

2

2i

×33+…+

n-1

2i

×3n+

n

2i

×3n+1②
②-①得 2bi2=-

1

2i

(32+33+…+3n)+

n

2i

×3n+1-

1

2i

×3=-

1

2i

×

32-3n+1

1-3

+

n

2i

×3n+1-

1

2i

×3=

1

2i+1

[(2n-1)3n+1+3]
∴bi2=

1

2i+2

[(2n-1)3n+1+3]．