Question

如圖，M、N、P分別是正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的點．

(1)若＝，求證：無論點P在D₁D上如何移動，總有BP⊥MN；

(2)若D₁P：PD＝1∶2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M－B₁N－B的余弦值；

(3)棱DD₁上是否總存在這樣的點P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

　(1)證明：連結AC、BD，則BD⊥AC，

∵＝，

∴MN∥AC，∴BD⊥MN.

又∵DD₁⊥平面ABCD，

∴DD₁⊥MN，

∵BD∩DD₁＝D，∴MN⊥平面BDD₁.

又P無論在DD₁上如何移動，總有BP⊂平面BDD₁，

∴無論點P在D₁D上如何移動，總有BP⊥MN.

 

(2)以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的坐標系．設正方體的棱長為1，AM＝NC＝t，

 

則M(1，t,0)，N(t,1,0)，B₁(1,1,1)，

P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，

∵＝(0,1－t,1)，

B＝

又∵BP⊥平面MNB₁，

∴·B＝0，

即t－1＋＝0，∴t＝，

∴＝(0，，1)，

M＝(－，，0)．

設平面MNB₁的法向量n＝(x，y，z)，

由，

得x＝y，z＝－y.

令y＝3，則n＝(3,3，－2)．

∵AB⊥平面BB₁N，

∴A是平面BB₁N的一個法向量，A＝(0,1,0)．

設二面角M－B₁N－B的大小為θ，

∴cos〈n，A〉

＝

＝.

則二面角M－B₁N－B的余弦值為.

(3)存在點P，且P為DD₁的中點，

使得平面APC₁⊥平面ACC₁.

證明：∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，

∴BD⊥平面ACC₁.

取BD₁的中點E，連PE，

則PE∥BD，

∴PE⊥平面ACC₁.

∵PE⊂平面APC₁，

∴平面APC₁⊥平面ACC₁.

【解析】略