Question

如圖，M、N、P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點，且AM：MB=CN：NB=CP：PD．
求證：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；
（2）平面MNP與平面ACD的交線∥AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由平行線分線段成比例可知AC∥MN，由線面平行的判斷可得AC∥平面MNP，同理可證BD∥平面MNP；
（2）在AD上取點Q，使CP：PD=AQ：QD，可證PQ為平面MNP與平面ACD的交線，由平行線分線段成比例易證結論．
解答：解：（1）由題意AM：MB=CN：NB，由平行線分線段成比例可知：AC∥MN，
又因為MN?平面MNP，AC在平面MNP外，
由線面平行的判定定理可得：AC∥平面MNP，
同理，由CN：NB=CP：PD可得BD∥NP，
由BD在平面外，NP在平面內，故有BD∥平面MNP；
（2）在AD上取點Q，使CP：PD=AQ：QD，
由平行線分線段成比例可知：PQ∥AC，又由（1）知AC∥MN，
所以PQ∥MN，故PQ?平面MNP，又PQ?平面ACD，
所以PQ為平面MNP與平面ACD的交線，由PQ∥AC可知，
平面MNP與平面ACD的交線∥AC．
點評：本題為線面平行的證明，注意平面內外的兩線是證明線面平行的關鍵，屬中檔題．