Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，且對任意正整數m，n，a_n^m=a_mⁿ，求數列{

1

log2an•log2an+1

}的前2013項和為

2013

2014

．

Answer 1

分析：依題意，令n=1，m分別取2，3，4，…，n可求得a_n，從而可求數列{

1

log2an•log2an+1

}的前2013項和．

解答：解：∵數列{a_n}中，a₁=2，且對任意正整數m，n，a_n^m=a_mⁿ，
∴令n=1，m=2，得a₂=a12=2²，
同理，令n=1，m=3，得a₃=a13=2³，
令n=1，m=4，得a₄=2⁴，
…，
∴a_n=2ⁿ；
∴log₂a_n=n，log₂a_n+1=n+1，
∴

1

log2an•log2an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴設數列{

1

log2an•log2an+1

}的前2013項和為S₂₀₁₃，
則S₂₀₁₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故答案為：

2013

2014

．

點評：本題考查數列的求和，考查賦值法的應用，著重考查等比數列的通項公式與裂項法求和，屬于中檔題．