Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：對任意m，n∈（-1，1），都有f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)，且當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調性，并證明之；
（3）求證f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

Answer 1

分析：（1）要判定函數f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關系，先令m=n=0求出f（0），然后令n=-m即可判定，
（2）根據函數單調性的定義進行判定單調性；
（3）先將f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

(n+1)(n+2)-1

）轉化成f[

1 n+1 +( -1 n+2 )

1+( 1 n+1 )( -1 n+2 )

]，然后根據f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)進行化簡，然后求和，即可證得結論．

解答：（1）解：令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-m）+f（m）=f（0）=0⇒f（-m）=-f（m）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數．
（2）解：∵f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)，
當-1＜m＜n＜1時，

m-n

1-mn

＜0，由條件知f（

m-n

1-mn

）＞0，
即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是減函數．
（3）證明：∵f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

(n+1)(n+2)-1

）=f[

1 n+1 +( -1 n+2 )

1+( 1 n+1 )( -1 n+2 )

]
=f（

1

n+1

）+f（

-1

n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)
=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）
∵0＜

1

n+2

＜1
∴f（

1

n+2

）＜0
∴f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f（

1

2

）
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數的奇偶性和單調性的判定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．