Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²+2x-3與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C被直線x-y+a=0截得的弦長為2

3

，求a的值．

Answer 1

（I）曲線y=x²-2x-3與y軸的交點為A（0，-3），與x軸的交點為B（1，0）、D（-3，0）．
∵線段BD的垂直平分線為x=-1，
∴設圓C的圓心為（-1，b），
由|AC|=|BC|，得（0+1）²+（-3-b）²=（1+1）²+b²，解得b=-1．
由此可得圓心C（-1，-1），
圓C的半徑r=

(1-0)2+(-1+3)2

=

5

，
因此，圓C的方程為（x+1）²+（y+1）²=5．
（II）∵直線x-y+a=0被圓C截得的弦長為2

3

，
∴設點C到直線x-y+a=0的距離為d，
根據垂徑定理得2

r2-d2

=2

3

，
即

5-d2

=

3

，解得d=

2

（舍負）．
∴點C（-1，-1）到直線x-y+a=0的距離為

|-1+1+a|

2

=

2

，
解得a=±2．