Question

（本題滿分14分）
如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點(diǎn)，，圓的直徑為9

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，
∴。
在正方形中，，
∵，∴平面．∵平面，
∴平面平面。……………………………………………6分
（Ⅱ）解法1：∵平面，平面，
∴。
∴為圓的直徑，即．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，
在△中，，
在△中，，
由，解得，。∴。
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連結(jié)，
由于平面，平面，∴。∵，
∴平面。∵平面，
∴。∵，，
∴平面。∵平面，∴
∴是二面角的平面角。…………………………………10分
在△中，，，，
∵，∴。
在△中，，,∴。……………13分
故二面角的平面角的正切值為。…………………………14分
解法2：∵平面，平面，
∴。∴為圓的直徑，即。
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，在△中，，
在△中，，
由，解得，。∴。
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，。……………8分
設(shè)平面的法向量為，
則即
取，則是平面的一個(gè)法向量。…………9分
設(shè)平面的法向量為，則即
取，則是平面的一個(gè)法向量。…………10分
,。
∴…………………………………………………………13分
故二面角的平面角的正切值為。………………………………14分

略