Question

（2013•松江區(qū)一模）已知z∈C，且滿足|z|2+(z+

.

z

)i=5+2i．
（1）求z；
（2）若m∈R，w=zi+m，求證：|w|≥1．

Answer 1

分析：（1）利用復數(shù)模的定義、互為共軛復數(shù)的意義及復數(shù)相等的定義即可解出；
（2）利用復數(shù)模的計算公式即可證明．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則|z|²=a²+b²，(z+

.

z

)i=2ai，
由|z|2+(z+

.

z

)i=5+2i得a²+b²+2ai=5+2i
關(guān)鍵復數(shù)相等的定義可得

a2+b2=5 2a=2

解得

a=1 b=2

或  

a=1 b=-2

．
∴z=1+2i或z=1-2i．
（2）當z=1+2i時，|w|=|zi+m|=|(1+2i)i+m|=|-2+i+m|=

(m-2)2+1

≥1，
當z=1-2i時，|w|=|zi+m|=|(1-2i)i+m|=|2+i+m|=

(m+2)2+1

≥1，
綜上可得：|w|≥1．

點評：熟練掌握復數(shù)模的定義、互為共軛復數(shù)的意義及復數(shù)相等的定義是解題的關(guān)鍵．