Question

（本題滿分13分）

一個截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬米，河深2米，現要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土．

(Ⅰ)建立恰當的直角坐標系并求出拋物線弧的標準方程；

(Ⅱ)試求當截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？

 

Answer 1

解：（1）如圖：以拋物線的頂點為原點，

中垂線為軸建立直角坐標系------1分

則            ------2分

設拋物線的方程為，將點代入得       -------3分

所以拋物線弧AB方程為（）       ------4分

（2）解法一：

設等腰梯形的腰與拋物線相切于      

則過的切線的斜率為                 

所以切線的方程為：，即             

令，得，   令，得，

所以梯形面積          -----10分

當僅當，即時，成立                            

此時下底邊長為                         -----12分

答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少．       -----13分

 解法二：設等腰梯形的腰與拋物線相切于                                      

則過的切線的斜率為                         

所以切線的方程為：，即        

運用定積分計算拋物線與等腰梯形間的面積：

 -----10分

   

  

當僅當，即時，成立，此時下底邊長為    ---12分

答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少．       -----------13分

 解法三：設等腰梯形上底（較短的邊）長為米，則一腰過點，可設此腰所在直線方程為，    聯立，得，                

令，得，或（舍），        

故此腰所在直線方程為，                      

令，得，                                     

故等腰梯形的面積： ------------10分

當且僅當，即時，有               

此時，下底邊長                 ------------12分

答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少．             ----------13分