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已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),實軸長為2
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C左支交于A、B兩點,求k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,線段AB的垂直平分線l與y軸交于M(0,b),求b的取值范圍.
【答案】分析:(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而可知a和c的值,進(jìn)而求得b,雙曲線方程可得.
(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式和韋達(dá)定理求得k的范圍.
(3)根據(jù)(1)中的xA+xB求得yA+yB的表達(dá)式,則AB的中點P的坐標(biāo)可得,設(shè)出直線l的方程,將P點坐標(biāo)代入直線l的方程求得b和k的關(guān)系是,進(jìn)而根據(jù)k的范圍確定b的范圍.
解答:解:(1)設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0).
由已知得:a=,c=2,再由a2+b2=c2,∴b2=1,
∴雙曲線方程為-y2=1.
(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
將y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由題意知解得<k<1.
∴當(dāng)<k<1時,l與雙曲線左支有兩個交點.
(3)由(2)得:xA+xB=
∴yA+yB=(kxA+)+(kxB+
=k(xA+xB)+2=,
∴AB的中點P的坐標(biāo)為(,).
設(shè)直線l的方程為:y=-x+b,
將P點坐標(biāo)代入直線l的方程,得b=
<k<1,∴-2<1-3k2<0,
∴b<-2
∴b的取值范圍為(-∞,-2).
點評:本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與雙曲線的關(guān)系.考查了學(xué)生綜合分析問題和運算的能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點,R是弦PQ的中點.

   (1)求雙曲線C的方程;

   (2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點,且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。

   (3)若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點R在直線m上的射影S滿足,當(dāng)點P在曲線C上運動時,求a的取值范圍.

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