Question

7．若{log₂a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，則數列{na_n}的前n項和為$\frac{2+（6n-2）•{4}^{n}}{9}$．

Answer 1

分析 由題意可得log₂a_n =1+（n-1）2=2n-1，由此可得a_n 的解析式，再根據錯位相減法求和即可

解答 解：由題意可得log₂a_n =1+（n-1）2=2n-1，
∴a_n =2^2n-1=2•4^n-1，
∴na_n=2n•4^n-1，
∴數列{na_n}的前n項和S_n=2（1×4⁰+2×4¹+3×4²+…+n×4^n-1），
∴$\frac{1}{2}$S_n=1×4⁰+2×4¹+3×4²+…+n×4^n-1，
∴2S_n=1×4¹+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ，
∴-$\frac{3}{2}$S_n=1+4¹+4²+4³+…+4^n-1-n×4ⁿ=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$-n×4ⁿ=-$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$-n）×4ⁿ，
∴S_n=$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{9}$（3n-1）4ⁿ=$\frac{2+（6n-2）•{4}^{n}}{9}$，
故答案為：$\frac{2+（6n-2）•{4}^{n}}{9}$．

點評 本題主要考查對數的運算性質、等差數列的通項公式，錯位相減法求和，屬于中檔題．