Question

由點P（0，1）引圓x²+y²=4的割線l，交圓于A，B兩點，使△AOB的面積為

7

2

（O為原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：先設出直線方程，與圓的方程聯立求出x₁，x₂與斜率之間的關系；再結合△AOB的面積為

7

2

，即可得到直線l的方程．

解答：解：設直線l的方程為y=kx+1              ①
將①代入圓的方程整理得（1+k²）x²+2kx-3=0   ②
設其二實數根為x₁，x₂，由根與系數的關系得
x₁+x₂=-

2k

1+k2

，x₁x₂=-

3

1+k2

設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵S△AOB=

1

2

|OP|(|x1|+|x2|)=

1

2

|x₁-x₂|=

7

2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4k2-4(1+k2)(-3)

|1+k2|

=

7

即

16k2+12

=

7

(1+k2)
解得k=±1，
故直線l的方程為y=±x+1

點評：本小題主要考查圓的參數方程及直線與圓的位置關系的判斷，以及轉化與化歸的思想方法．本題出現最多的問題應該是計算上的問題，平時要強化基本功的練習．