Question

已知圓C：x²+y²-x+2y=0
（I）求由點(diǎn)P（

1

2

，l）向圓C所引的切線長(zhǎng)；
（Ⅱ）求圓C關(guān)于直線l：x-y+1=0對(duì)稱的圓的方程．

Answer 1

分析：（I）把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心C的坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)|PC|=2，可得切線長(zhǎng)為

|PC|2-R2

 的值．
（Ⅱ）設(shè)圓心C（

1

2

，-1）關(guān)于直線l：x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為D（a，b），則由垂直和中點(diǎn)在軸上2個(gè)條件，解方程組求得對(duì)稱圓的圓心D的坐標(biāo)，即可求得對(duì)稱圓的方程．

解答：解：（I）圓C：x²+y²-x+2y=0 即 (x-

1

2

)2+（y+1）²=

5

4

，表示以C（

1

2

，-1）為圓心，半徑等于R=

5

2

的圓．
∵|PC|=2，故切線長(zhǎng)為

|PC|2-R2

=

11

2

．
（Ⅱ）設(shè)圓心C（

1

2

，-1）關(guān)于直線l：x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為D（a，b），則由

b+1 a- 1 2 =-1 a+ 1 2 2 -  b-1 2 +1=0

，求得

a=-2  b= 3 2

，
故D（-2，

3

2

），故對(duì)稱圓的方程為 （x+2）²+(y-

3

2

)2=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的切線長(zhǎng)的方法，求一個(gè)圓關(guān)于一條直線的對(duì)稱圓的方程的方法，屬于中檔題．