Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，確定g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：依題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
∵f′（x）=x+

1

x

，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）證明：設(shè)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，
∴g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．