Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），若橢圓上存在一點P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：由“”的結構特征，聯想到在△PF₁F₂中運用由正弦定理得：兩者結合起來，可得到，再由焦點半徑公式，代入可得到：a（a+ex）=c（a-ex）解出x，由橢圓的范圍，建立關于離心率的不等式求解．要注意橢圓離心率的范圍．
解答：解：在△PF₁F₂中，
由正弦定理得：
則由已知得：，
即：a|PF₁|=c|PF₂|
設點（x，y）由焦點半徑公式，
得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex
則a（a+ex）=c（a-ex）
解得：
由橢圓的幾何性質知：x＞-a則，
整理得e²+2e-1＞0，解得：或，又e∈（0，1），
故橢圓的離心率：，
故答案為：．
點評：本題主要考查橢圓的定義，性質及焦點三角形的應用，特別是離心率應是橢圓考查的一個亮點，多數是用a，b，c轉化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．