Question

(本小題滿分13分)

已知函數.

（Ⅰ）若函數f(x)有三個零點，且，，求函數f(x)的單調區間；

（Ⅱ）若，，求證：導函數在區間(0，2)內至少有一個零點；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導函數的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞減區間是，單調遞增區間是

（Ⅱ）因為，，所以，即.

因為，所以，即.                        

于是，，.  （1）當時，因為，則在區間內至少有一個零點.

                                                                        

（2）當時，因為，則在區間（1，2）內至少有一零點.

故導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.                                

（Ⅲ）的取值范圍是.     

解析:

（I）因為，又，則

.                                                   （1分）

因為x₂，x₃是方程的兩根，則

，.即.                                          （2分）

又，即，所以，即，從而.

所以.                                                   （3分）

因為，由，得.

故的單調遞減區間是，單調遞增區間是.                  （4分）

（Ⅱ）因為，，所以，即.

因為，所以，即.                          （5分）

于是，，.   （6分）

（1）當時，因為，則在區間內至少有一個零點.

                                                                            （7分）

（2）當時，因為，則在區間（1，2）內至少有一零點.

故導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.                                  （8分）

（Ⅲ）設m，n是導函數的兩個零點，則，.

所以.           （10分）

由已知，，則，即.

所以，即或.                                （11分）

又，，所以，即.

因為，所以.                                               （12分）

綜上分析，的取值范圍是.                                  （13分）