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已知a＞b＞0，求證：a+
1
b
＞b+
1
a
．
分析：直接利用作差法，判斷a+
1
b
，b+
1
a
兩個數值的差的大小，即可證明不等式成立．
解答：證明：由于a+
1
b
-（b+
1
a
）=（a-b）+（
1
b
-
1
a
）
=（a-b）（1+
1
ab
）=（a-b）•
ab+1
ab
，
因為a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，
所以（a-b）•
ab+1
ab
＞0．
即a+
1
b
-（b+
1
a
）＞0．
所以a＞b＞0時，a+
1
b
＞b+
1
a
成立．
點評：本題主要考查不等式的證明方法：作差法的應用，本題也可以利用分析法證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞b＞0，求證：
(a-b)2
8a
＜
a+b
2
-
ab
＜
(a-b)2
8b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知a，b＞0，求證：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）求證：
3
+
7
＜2
5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（Ⅰ）已知a＞b＞0，求證：
a
-
b
＜
a-b
；
（Ⅱ）已知x，y，z均為實數，且a=x2-2y+
π
2
，b=y2-2z+
π
3
，c=z2-2x+
π
6
求證：a，b，c中至少有一個大于0．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年河南省安陽市湯陰一中高二（上）期中數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

（Ⅰ）已知a＞b＞0，求證：-＜；
（Ⅱ）已知x，y，z均為實數，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+求證：a，b，c中至少有一個大于0．

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同步練習冊答案
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