Question

求圓心在直線l₁：y=

1

2

x上，與直線l₂：x-2y-4

5

=0相切，且經過點（2，5）的圓的方程．

Answer 1

分析：根據圓心C在直線l₁上，設出圓心坐標，半徑為r，表示出圓C方程，根據圓C與直線l₂相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點到直線的距離公式求出圓的半徑，將已知點代入所設圓方程求出b的值，確定出圓心坐標，寫出圓的方程即可．

解答：解：由圓心在直線l₁：y=

1

2

x上，設圓心C（2b，b），
圓方程可設為（x-2b）²+（y-b）²=r²，（r＞0），
∵圓C與直線l₂：x-2y-4

5

=0相切，
∴圓心C到直線的距離d=r，即d=r=

|2b-2b-4 5 |

5

=4，
∵點（2，5）在圓上，∴（2-2b）²+（5-b）²=16，
整理得：5b²-18b+13=0，
解得：b₁=

13

5

，b₂=1，
則所求圓方程為（x-

26

5

）²+（y-

13

5

）²=16或（x-2）²+（y-1）²=16．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及你的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．