Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）為g（x）的導函數，對x∈R，總有g′（x）＞2x，則g（x）＜x2+4的解集為 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1）
【解析】解：因為函數f（x）是定義在R上的奇函數， 所以函數f（x）關于原點對稱，
又g（x）=f（x+1）+5，
故g（x）的圖象關于點（﹣1，5）對稱，
令h（x）=g（x）﹣x2﹣4，
∴h′（x）=g′（x）﹣2x，
∵對x∈R，g′（x）＞2x，
∴h（x）在R上是增函數，
又h（﹣1）=g（﹣1）﹣（﹣1）2﹣4=0，
∴g（x）＜x2+4的解集是（﹣∞，﹣1），
所以答案是：（﹣∞，﹣1）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．