Question

【題目】某經銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經市場調研發現以下規律：當每臺凈化器的利潤為 x （單位：元， x 0 ）時，銷售量 q(x) （單位：百臺）與 x 的關系滿足：若 x 不超過 20 ， 則 ；若 x 大于或等于180 ，則銷售量為零；當 20 ≤ x ≤180 時，（ a ， b 為實常數）．

（Ⅰ）求函數 q(x) 的表達式；

（Ⅱ）當 x 為多少時，總利潤（單位：元）取得最大值，并求出該最大值．

Answer 1

【答案】（1）.

（2）當 x 等于80 元時，總利潤取得最大值 240000 元．

【解析】

試題分析：（1）求分段函數解析式，可從分段的節點出發，尋找條件，確定參數：解得列出（2）先列出利潤函數解析式，分三段求最值，第一段為分式函數，可利用變量分離，結合單調性求最大值；第二段利用導數求極值點，研究單調趨勢，求最大值；第三段為常函數，最后求三段最大值的最大值

試題解析：解：（1）當時，由得

故

（2）設總利潤，

由（1）得

當時，，在上單調遞增，

所以當時，有最大值．

當時，，，

令，得．

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以當時，有最大值．

當時，﹒

答：當等于元時，總利潤取得最大值元．