Question

已知集合M_D是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ） 當D=R時，f（x）=x是否屬于M_D？說明理由；
（Ⅱ） 當D=[0，+∞）時，函數屬于M_D，求k的取值范圍；
（Ⅲ） 現有函數f（x）=sinx，是否存在函數g（x）=kx+b（k≠0），使得下列條件同時成立：
①函數g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區間[0，2π）上有且僅有一解．若存在，求出滿足條件的k和b；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）屬于M_D．
事實上，對任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|≤2|x₁-x₂|，
故可取常數k=2滿足題意，因此f（x）∈M_D．
（Ⅱ）∵在[0，+∞）為增函數
∴對任意x₁，x₂∈[0，+∞）有=
（當x₁=0，x₂→0時取到），所以，此即為所求．
（Ⅲ）存在．
事實上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）屬于M_D．
∵t是g（x）=0的根∴，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合題意，則-k也符合題意，故以下僅考慮k＞0的情形．
設h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，則
由，
且，
所以，在中另有一根，矛盾．
②若，
則=sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在中另有一根，矛盾．∴．
以下證明，對任意符合題意．
（ⅰ）當時，由y=sinx圖象在連接兩點（0，0），（x，sinx）的線段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）當時，．
（ⅲ）當時，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
從而h（x）=0有且僅有一個解x=0，∴g（x）=kx在滿足題意．
綜上所述：為所求．
分析：（Ⅰ）先求出，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|得到其小于等于2|x₁-x₂|，即可說明其成立．（當然也可以取其它k值）
（Ⅱ）直接對進行整理，根據其取值范圍即可得到k的取值范圍；
（Ⅲ）先根據（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）屬于M_D，再借助于t是g（x）=0的根，以及f（g（t））=g（f（t）），得到g（x）=kx；最后根據k符合題意，則-k也符合題意，只需要借助與第三個要求求出k＞0時對應的范圍，再綜合即可得到結論．
點評：本題是在新定義下對函數恒成立問題的考查，第三問比較麻煩，建議程度較差的學生直接略過，只須看前兩問即可．