Question

已知函數圖像上一點處的切線方程為(1)求的值；(2)若方程在區間內有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)令如果的圖像與軸交于兩點，的中點為，求證：

 

Answer 1

(1) a＝2,b＝1. (2) (3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用導數幾何意義，函數在點處的導數值為切線的斜率，即 ，又 ，所以可得a＝2,b＝1. (2)利用函數與方程思想，即研究函數圖像與直線有兩個不同的交點，因為 ，所以當x∈時,, f(x)是增函數；當x∈時, , f(x)是減函數.且，所以 (3)正難則反，假設這樣從等量關系進行邏輯推理，先列出等量關系，五個未知數，四個方程，應建立函數關系，關鍵是消元，觀察可知應消去，得，轉化為，這是關于的一元函數，利用導數可研究其單調性＞0，故，即方程無解，假設不成立.

試題解析：【解析】
(1),,.

∴,且.解得a＝2,b＝1. . (4分)

(2),設,

則,令,得x＝1(x＝－1舍去).

當x∈時,, h(x)是增函數；當x∈時,, h(x)是減函數.

則方程在內有兩個不等實根的充要條件是

解得. (8分)

(3),.假設結論成立,

則有,①－②,得.

∴.由④得,于是有,∴,

即.⑤ 令, (0＜t＜1),則＞0.

∴在0＜t＜1上是增函數,有,∴⑤式不成立,與假設矛盾.

∴. (12分)

考點：利用導數求切線，利用導數求值域，利用導數證不等式