Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明:直線平面；

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求平面與所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) ；(3)

【解析】

（1）連接，交于，連結(jié)，得到為中點(diǎn)，可證，即可證明結(jié)論；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，再求出向量夾角的余弦，即可求解；

（3）求出平面的法向量，取軸上的單位向量為平面法向量，根據(jù)向量的面面角公式，即可求解.

(1)連接，交于， 連結(jié)，

直三棱柱中，

側(cè)面為平行四邊形，為中點(diǎn)，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，

又平面，平面

平面

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以，.

因?yàn)?/span>.

所以異面直線與所成角的余弦值為.

(3)設(shè)平面的法向量.

因?yàn)?/span>，

所以，

即且，

取，得，

所以是平面的一個(gè)法向量，

取平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成二面角的大小為.

由，

得.

因此平面與平面所成二面角的正弦值為.