Question

已知二函數y=3x⁴+a，y=4x³，若它們的圖象有公共點，且在公共點處的切線重合，則切斜線率為（　　）

• A、0
• B、12
• C、0或12
• D、4或1

Answer 1

分析：設出切點，利用導數的幾何意義即可求解．

解答：解：設公共點為P（x₀，y₀），則在函數y=3x⁴+a中，
y′|x=x0=12x03，
則在P點處的切線方程為y-y₀=12x₀³（x-x₀）
即y-（3x₀⁴+a）=12x₀³（x-x₀）
化簡得，y=12x₀³x-9x₀⁴+a
在函數y=4x³中，y′|x=x0=12x02
則在P點處的切線方程為y-y₀=12x₀²（x-x₀）
即y-4x₀³=12x₀²（x-x₀）
化簡得，y=12x₀²x-8x₀³
又兩個函數在公共點處的切線重合，
∴

12x03=12x02 -9x04+a=-8x03

∴

x0=0 a=0

或

x0=1 a=1

∴切線斜率為0或12．

點評：設出切點是本題解題的關鍵，再利用幾何意義進行求解．今年的高考中，對導數的考查大多數集中在幾何意義的考查上．