Question

已知，求證：
（1）當m＜n（m∈N^*）時，；
（2）當n＞1時，；
（3）對于任意給定的正數M，總能找到一個正整數N₀，使得當n＞N₀時，有f（n）＞M．

Answer 1

證明：（1）當m＜n時，
f（n）-f（m）=≥=．
（2）當n＞1時，
；
（3）∵，
∴f（n）在N^*上單調遞增．
由（2）可知，當n＞1時，．對任意給定的正數M，設M₀是比M大的最小正整數，
取，則當n＞N₀時，．
分析：（1）當m＜n時，考察f（n）與（m）的差f（n）-f（m），結合放縮法即可證得；
（2）當n＞1時，利用放縮法結合等比數列的求和公式即得結論；
（3）由于，得出f（n）在N^*上單調遞增．由（2）可知，當n＞1時，．對任意給定的正數M，設M₀是比M大的最小正整數，取，則當n＞N₀時，有f（n）＞M．
點評：本小題主要考查綜合法與分析法、不等式的證法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．