Question

當x₁≠x₂時，有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數f（x）是“嚴格下凸函數”，下列函數是嚴格下凸函數的是（　　）

A．y=x

B．y=|x|

C．y=x²

D．y=log₂x

Answer 1

分析：先求出f（

x1+x2

2

）的解析式以及

f(x1)+f(x2)

2

的解析式，利用函數的單調性、基本不等式判斷f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

的大小關系，再根據“嚴格下凸函數”的定義域，
得出結論．

解答：解：A、對于函數y=f（x）=x，當x₁≠x₂時，有f（

x1+x2

2

）=

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1+x2

2

，
f（

x1+x2

2

）=

f(x1)+f(x2)

2

，故不是嚴格下凸函數．
B、對于函數y=f（x）=|x|，當x₁≠x₂ ＞0時，f（

x1+x2

2

）=|

x1+x2

2

|=

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

|x1|+|x2|

2

=

x1+x2

2

，
f（

x1+x2

2

）=

f(x1)+f(x2)

2

，故不是嚴格下凸函數．
C、對于函數 y=f（x）=x²，當x₁≠x₂時，有f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2=

x12+2x1x2+x22

4

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12 +x22

2

，顯然滿足f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故是嚴格下凸函數．
D、對于函數y=f（x）=log₂x，f（

x1+x2

2

）=log2

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(log2x1+log2x2)=log2

x1•x2

，
f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，故不是嚴格下凸函數．
故選C．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，基本不等式的應用，“嚴格下凸函數”的定義，屬于中檔題．