Question

已知二次函數f（x）=ax²+x（a∈R）．當0＜a＜

1

2

時，f（sinx）（x∈R）的最大值為

5

4

，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：先由題中條件：“0＜a＜

1

2

”得出二次函數的對稱軸的位置，從而得出f（sinx）（x∈R）在什么位置取得最大值，從而求得a值，最后利用二次函數的性質求得f（x）的最小值即可．

解答：解：由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1
故當sinx=1時f（x）取得最大值為

5

4

，
即f(1)=a+1=

5

4

；
∴a=

1

4

；
∴f(x)=

1

4

x2+x=

1

4

(x+2)2-1，
所以f（x）的最小值為-1．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、二次函數的性質的應用等基礎知識，考查數形結合思想．屬于基礎題．