Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

anan+2

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設bn=

1

an

，Sn表示數列{b_n}的前n項和．試問：是否存在關于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題中條件點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，求出a_n與a_n+1的關系，便可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）將（1）中求得的{a_n}的通項公式代入其中便可求出數列{b_n}的通項公式，便可求出數列{b_n}的前n項和T_n的表達式；
（3）存在，先根據題意求出Sn的表達式，然后求出S₁+S₂+S₃+…+S_n-1與（S_n-1）的關系，便可求出存在g（n）使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數n恒成立．

解答：解：（1）由點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*）
（2）bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

2

((1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

))
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)；
（3）bn=

1

n

，可得Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)
即nS_n-nS_n-1=1
∴nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1
…
2S₂-S₁=S₁+1
nS_n-S₁=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1+n-1，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=nS_n-n=n（S_n-1），n≥2，g（n）=n
故存在關于n的整式g（x）=n，使得對于一切不小于2的自然數n恒成立．

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的綜合，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．