Question

設a，b∈R，若x≥0時恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，則ab等于______．

Answer 1

驗證發現，
當x=1時，將1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
當x=0時，可得0≤b≤1，結合a+b=0可得-1≤a≤0
令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（1）=a+b=0
又f′（x）=4x³-3x²+a，f′′（x）=12x²-6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞

1

2

，則f′（x）=4x³-3x²+a在[0，

1

2

]上減，在[

1

2

，+∞）上增
又-1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0
又x≥0時恒有0≤x⁴-x³+ax+b，結合f（1）=a+b=0知，1必為函數f（x）=x⁴-x³+ax+b的極小值點，也是最小值點
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=-1，b=1
故ab=-1
故答案為-1