Question

關于x的方程4^x-k•2^x+k+3=0，只有一個實數解，則實數k的取值范圍是

（-∞，-3）∪{6}

．

Answer 1

分析：首先換元，令t=2^x，則關于t方程 t²-kt+k+3=0只有一個正根，根據根與系數的關系寫出一元二次方程要滿足的條件，得到結果．

解答：解：設t=2^x，t＞0
x的方程4^x-k•2^x+k+3=0轉化為t²-kt+k+3=0，設f（t）=t²-kt+k+3，
原方程只有一個根，則換元以后的方程有一個正根，
∴f（0）＜0，或△=0，
∴k＜-3，或k=6
故答案為（-∞，-3）∪{6}．

點評：本題考查一元二次方程根存在的條件，考查換元的數學思想，本題解題的關鍵是注意換元過程中變量范圍的改變．本題是一個中檔題目．