Question

若關于x的方程4^x-k•2^x+k+3=0無實數解，求k的取值范圍．

Answer 1

解：設t=2^x＞0，原方程即為t²-kt+k+3=0（t＞0）
原方程無解?t²-kt+k+3=0無正解（1分）
（1）t²-kt+k+3=0無解?△=k²-4（k+3）=k²-4k-12＜0?-2＜k＜6（3分）
（2）t²-kt+k+3=0有兩負解或一負解一解為0（4分）
??-3≤k≤-2（8分）
綜上-3≤k＜6（9分）
分析：先對方程進行換元，將方程變為一元二次方程無正解的問題，再對方程無解的問題進行分類討論求參數的范圍即可
點評：本題考查指數函數的單調性與特殊點，解題的關鍵是用換元法將指數方程變為一元二次方程，然后再依據一元二次方程的性質轉化成關于參數的不等式組求參數，本題對轉化化歸的能力要求較高．