Question

對于a，b∈R，記max{a，b}=

b   a＜b a   a≥b

，若函數f(x)=max{

1

2

x，|x-1|}，其中x∈R，則f（x）的最小值為

1

3

．

Answer 1

分析：根據兩個式子比較大小和絕對值的意義，將f（x）化簡成分段函數的形式，可得f（x）單調性，由此即可求得函數f（x）的最小值．

解答：解：由

1

2

x=|x-1|得，3x²-8x+4=0，解得x=

2

3

或2，
當x≤

2

3

或x≥2時，|x-1|≥

1

2

x，
當

2

3

＜x＜2時，|x-1|＜

1

2

x，
∴由定義得，f(x)=

1 2 x      2 3 ＜x＜2 |x-1|     x≤ 2 3 或x≥2

=

1 2 x      2 3 ＜x＜2 1-x    x≤ 2 3 x-1     x≥2

，
∴f（x）在（-∞，

2

3

）上是減函數；在（

2

3

，2），（2，+∞）上是增函數，
則函數f（x）的最小值為f（

2

3

）=1-

2

3

=

1

3

，
故答案為：

1

3

．

點評：本題給出特殊定義，求函數f（x）的最小值，著重考查了實數比較大小、絕對值的意義和分段函數的處理等知識，屬于中檔題．