Question

設l，m，n是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，給出下列命題：①當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件；②當m?α且n是l在α內的射影時，“m⊥n，”是“l⊥m”的充分不必要條件；③當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要條件；④當m?α，且n?α時，“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要條件；則其中不正確命題的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①由面面平行的定義與線面垂直的判斷定理可得①是真命題．②由三垂線定理可得，“m⊥n，”是“l⊥m”的充要條件．③根據面面垂直的判斷定理可得α⊥β；反之若α⊥β則m⊥β不一定成立．④當m?α，且n?α時，若n∥α則m∥n不一定成立也可能異面；反之由線面平行的判斷定理可得n∥α．
解答：解：①當n⊥α時，并且n⊥β則由面面平行的定義可得α∥β；反之也成立．所以①是真命題．
②由三垂線定理可得，“m⊥n，”是“l⊥m”的充要條件．所以②是假命題．
③當m?α時，若m⊥β則根據面面垂直的判斷定理可得α⊥β；反之若α⊥β則m⊥β不一定成立．所以③是真命題．
④當m?α，且n?α時，若n∥α則m∥n不一定成立也可能異面；反之若m∥n則由線面平行的判斷定理可得n∥α．所以④是假命題．
故選B．
點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，主要考查了線面與面面垂直的判斷定理以及三垂線定理．需要答題者有一定的空間想像能力及根據條件做出正確聯想的能力．